2006년03월05일 27번
[통계적품질관리] 금속판의 표면경도의 상한 규격치가 68이하로 규정되어 있을 때 경도 68을 넘는 것이 0.5%이하인 로트는 통과시키고 4%이상인 로트는 통과시키지 않도록 할 때, 
이라 하면 로트의 표준편차 σ는 얼마인가?(단, k=2.11, α=0.05, β=0.1로한다.)
이라 하면 로트의 표준편차 σ는 얼마인가?(단, k=2.11, α=0.05, β=0.1로한다.)- ① 1
- ② 2
- ③ 3
- ④ 4
(정답률: 알수없음)
문제 해설
주어진 문제는 일변량 정규분포의 균일성 검정 문제이다. 귀무가설은 "로트의 표준편차는 68을 넘지 않는다." 대립가설은 "로트의 표준편차는 68을 넘는다." 이다. 유의수준 α=0.05로 설정하였으므로, 귀무가설이 맞을 때 이를 기각할 확률이 5% 이하이어야 한다. 즉, 유의확률 p-value가 0.05 이하이어야 한다.
이 문제에서는 k=2.11, β=0.1로 설정하였으므로, 귀무가설이 틀렸을 때 이를 잘못 기각할 확률이 10% 이하이어야 한다. 즉, 검정력이 90% 이상이어야 한다.
이제 유의수준과 검정력을 만족하는 최소한의 표본크기를 구해보자. 이를 위해 다음과 같은 식을 사용한다.
n = (kσ/Δ)²
여기서 Δ는 규격치와 표본평균의 차이이다. 이 문제에서는 Δ=68-μ=68-68=0 이므로, Δ를 생략할 수 있다.
n = (kσ)²
이제 k와 α, β를 대입하여 n을 구하면 다음과 같다.
n = (2.11σ)² = 4.4521σ²
α=0.05이므로, 양측검정에서 각각 0.025의 면적을 가지는 t-분포의 양쪽 꼬리값을 구하면 다음과 같다.
t(0.025, n-1) = -t(0.025, n-1) = -t(0.025, n-1)
이 문제에서는 표본크기가 충분히 크므로, t-분포를 표준정규분포로 근사할 수 있다. 따라서,
z(0.025) = -z(0.025) = -1.96
β=0.1이므로, 우측검정에서 0.1의 면적을 가지는 t-분포의 꼬리값을 구하면 다음과 같다.
t(0.1, n-1) = t(0.9, n-1)
이 문제에서는 표본크기가 충분히 크므로, t-분포를 표준정규분포로 근사할 수 있다. 따라서,
z(0.9) = 1.28
이제 이 값을 대입하여 n을 구하면 다음과 같다.
4.4521σ² = (2.11σ)²(1.96+1.28)²
σ² = 68²/4.4521(1.96+1.28)²
σ² ≈ 6.67
따라서, 표준편차 σ는 약 2.58이다.
정답은 "3"이다.
이 문제에서는 k=2.11, β=0.1로 설정하였으므로, 귀무가설이 틀렸을 때 이를 잘못 기각할 확률이 10% 이하이어야 한다. 즉, 검정력이 90% 이상이어야 한다.
이제 유의수준과 검정력을 만족하는 최소한의 표본크기를 구해보자. 이를 위해 다음과 같은 식을 사용한다.
n = (kσ/Δ)²
여기서 Δ는 규격치와 표본평균의 차이이다. 이 문제에서는 Δ=68-μ=68-68=0 이므로, Δ를 생략할 수 있다.
n = (kσ)²
이제 k와 α, β를 대입하여 n을 구하면 다음과 같다.
n = (2.11σ)² = 4.4521σ²
α=0.05이므로, 양측검정에서 각각 0.025의 면적을 가지는 t-분포의 양쪽 꼬리값을 구하면 다음과 같다.
t(0.025, n-1) = -t(0.025, n-1) = -t(0.025, n-1)
이 문제에서는 표본크기가 충분히 크므로, t-분포를 표준정규분포로 근사할 수 있다. 따라서,
z(0.025) = -z(0.025) = -1.96
β=0.1이므로, 우측검정에서 0.1의 면적을 가지는 t-분포의 꼬리값을 구하면 다음과 같다.
t(0.1, n-1) = t(0.9, n-1)
이 문제에서는 표본크기가 충분히 크므로, t-분포를 표준정규분포로 근사할 수 있다. 따라서,
z(0.9) = 1.28
이제 이 값을 대입하여 n을 구하면 다음과 같다.
4.4521σ² = (2.11σ)²(1.96+1.28)²
σ² = 68²/4.4521(1.96+1.28)²
σ² ≈ 6.67
따라서, 표준편차 σ는 약 2.58이다.
정답은 "3"이다.