2013년03월10일 97번

[기계제작법 및 기계동력학]
그림과 같이 줄의 길이 L, 질량 m인 공을 1의 위치에서 놓을 때, 2의 위치까지 공이 오려면 최초의 위치각 α는 몇 도이면 되는가? (단, 마찰력, 공기저항, 줄의 질량은 무시한다.)

① 30도
② 45도
③ 60도
④ 90도

(정답률: 24%)

문제 해설

이 문제는 운동에너지와 위치에너지의 보존을 이용하여 풀 수 있다. 공이 2의 위치까지 오르기 위해서는 운동에너지와 위치에너지의 합이 일정해야 한다. 따라서, 공이 1의 위치에서 출발할 때의 운동에너지와 위치에너지의 합과 2의 위치에 도달할 때의 운동에너지와 위치에너지의 합이 같아야 한다.

공이 1의 위치에서 출발할 때의 운동에너지는 0이고, 위치에너지는 mgh이다. 여기서 h는 공의 높이이다. 따라서, 공이 1의 위치에서 출발할 때의 위치에너지는 mgh이다.

공이 2의 위치에 도달할 때의 위치에너지는 0이고, 운동에너지는 1/2mv^2이다. 여기서 v는 공의 속도이다. 따라서, 공이 2의 위치에 도달할 때의 운동에너지는 1/2mv^2이다.

또한, 공이 2의 위치에 도달할 때의 높이는 L(1-cosα)이다. 따라서, 공이 2의 위치에 도달할 때의 위치에너지는 mgL(1-cosα)이다.

따라서, mgh = 1/2mv^2 + mgL(1-cosα)이다. 이를 정리하면, v^2 = 2gL(1-cosα)이다.

따라서, v = √(2gL(1-cosα))이다. 여기서 L과 g는 주어져 있으므로, v를 구할 수 있다. 그리고, v = d/t이므로, 공이 2의 위치에 도달하는 시간 t를 구할 수 있다.

그리고, 공이 2의 위치에 도달하는 시간 t동안 공의 가속도는 중력가속도 g와 반대 방향으로 작용하므로, 공의 가속도 a는 -g이다. 따라서, 공이 2의 위치에 도달할 때의 속도 v와 출발할 때의 속도 0, 그리고 가속도 -g를 이용하여 최초의 위치각 α를 구할 수 있다.

위의 계산을 수행하면, 최초의 위치각 α는 60도이다. 따라서, 정답은 "60도"이다.

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