2013년03월10일 51번

[기계유체역학]
내경이 50mm인 180° 곡관(bend)을 통하여 물이 5m/s의 속도와 0의 계기압력으로 흐르고 있다. 물이 곡관에 작용하는 힘은 약 몇 N인가?

① 0
② 24.5
③ 49.1
④ 98.2

(정답률: 41%)

문제 해설

먼저, 곡관 내부에서 물은 곡률 반경이 작아지면서 속도가 증가하게 된다. 이로 인해 관 내부에 역학적인 압력이 발생하며, 이 압력이 곡관 벽면에 힘을 가한다. 이 힘을 구하기 위해서는 베르누이 방정식과 연속 방정식을 이용해야 한다.

베르누이 방정식은 유체의 운동에너지와 위치에너지가 일정하다는 것을 나타내는 방정식으로, 다음과 같이 표현된다.

P + 1/2ρv^2 + ρgh = 상수

여기서 P는 압력, ρ는 밀도, v는 속도, g는 중력 가속도, h는 위치를 나타낸다.

연속 방정식은 유체의 질량이 일정하다는 것을 나타내는 방정식으로, 다음과 같이 표현된다.

A1v1 = A2v2

여기서 A는 단면적, v는 속도를 나타낸다.

이를 이용하여 곡관 내부에서의 압력을 구할 수 있다. 곡관의 내경이 50mm이므로 반지름은 25mm이다. 따라서 단면적은 다음과 같다.

A = πr^2 = 3.14 x (0.025m)^2 = 0.00196m^2

물의 속도는 5m/s이므로, 유량은 다음과 같다.

Q = Av = 0.00196m^2 x 5m/s = 0.0098m^3/s

또한, 물의 밀도는 1000kg/m^3이므로, 물의 질량은 다음과 같다.

m = ρQ = 1000kg/m^3 x 0.0098m^3/s = 9.8kg/s

이를 이용하여 연속 방정식을 적용하면, 곡관 내부에서의 속도는 다음과 같다.

v2 = A1v1/A2 = (πr^2v1)/(πr^2/2) = 2v1

따라서, 물의 속도는 10m/s가 된다.

이를 이용하여 베르누이 방정식을 적용하면, 다음과 같다.

P1 + 1/2ρv1^2 + ρgh1 = P2 + 1/2ρv2^2 + ρgh2

여기서 P1은 0이므로 제외할 수 있다. 또한, 물의 시작점과 끝점의 높이가 같으므로 h1 = h2이다. 따라서, 다음과 같이 정리할 수 있다.

1/2ρv1^2 = 1/2ρv2^2

v1^2 = v2^2

v1 = v2/2

따라서, 물의 시작점에서의 속도는 5m/s, 끝점에서의 속도는 10m/s이다.

이를 이용하여 물이 곡관 벽면에 가하는 힘을 구할 수 있다. 물이 곡관 벽면에 가하는 힘은 다음과 같이 구할 수 있다.

F = ρQv2

여기서 Q는 유량, v는 끝점에서의 속도를 나타낸다.

따라서, F = 1000kg/m^3 x 0.0098m^3/s x 10m/s = 98N이 된다.

따라서, 정답은 "98.2"이다. 이 값은 계산 과정에서 반올림한 값이다.

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