2014년03월02일 54번
[기계유체역학] 절대압력 700kPa의 공기를 담고 있고 체적은 0.1m3, 온도는 20℃인 탱크가 있다. 순간적으로 공기는 밸브를 통해 바깥으로 단면적 75mm2를 통해 방출되기 시작한다. 이 공기의 유속은 310m/s이고, 밀도는 6kg/m3이며 탱크 내의 모든 물성치는 균일한 분포를 갖는다고 가정한다. 방출하기 시작하는 시각에 탱크 내 밀도의 시간에 따른 변화율은 몇 kg/(m3 ㆍ s) 인가?
- ① -12.338
- ② -2.582
- ③ -20.381
- ④ -1.395
(정답률: 29%)
문제 해설
이 문제는 질량 보존 법칙과 연속 방정식을 이용하여 풀 수 있다.
먼저, 질량 보존 법칙은 다음과 같다.
$$frac{partial rho}{partial t} + nabla cdot (rho mathbf{v}) = 0$$
여기서 $rho$는 공기의 밀도, $mathbf{v}$는 공기의 속도 벡터이다. 이 법칙은 공기의 질량이 변하지 않는다는 것을 의미한다.
다음으로, 연속 방정식은 다음과 같다.
$$nabla cdot mathbf{v} = -frac{1}{rho} frac{partial rho}{partial t}$$
이 방정식은 공기의 유속과 밀도가 어떻게 변하는지를 나타낸다.
이제 문제에서 주어진 조건을 이용하여 풀어보자. 우선, 공기의 질량은 변하지 않으므로 질량 보존 법칙은 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$frac{partial rho}{partial t} + frac{1}{V} frac{partial}{partial t} (V rho) = 0$$
여기서 $V$는 탱크의 체적이다. 이제 연속 방정식을 이용하여 $frac{partial rho}{partial t}$를 구할 수 있다.
$$frac{partial rho}{partial t} = -rho nabla cdot mathbf{v} = frac{rho}{V} frac{partial}{partial t} (V A)$$
여기서 $A$는 밸브의 단면적이다. 따라서,
$$frac{partial rho}{partial t} = -frac{rho A}{V} frac{partial V}{partial t}$$
이제 주어진 값들을 대입하여 계산하면,
$$frac{partial rho}{partial t} = -frac{(6 text{ kg/m}^3)(75 times 10^{-6} text{ m}^2)}{0.1 text{ m}^3} (310 text{ m/s}) = -1.395 text{ kg/(m}^3 cdot text{s})$$
따라서, 정답은 "-1.395"이다.
먼저, 질량 보존 법칙은 다음과 같다.
$$frac{partial rho}{partial t} + nabla cdot (rho mathbf{v}) = 0$$
여기서 $rho$는 공기의 밀도, $mathbf{v}$는 공기의 속도 벡터이다. 이 법칙은 공기의 질량이 변하지 않는다는 것을 의미한다.
다음으로, 연속 방정식은 다음과 같다.
$$nabla cdot mathbf{v} = -frac{1}{rho} frac{partial rho}{partial t}$$
이 방정식은 공기의 유속과 밀도가 어떻게 변하는지를 나타낸다.
이제 문제에서 주어진 조건을 이용하여 풀어보자. 우선, 공기의 질량은 변하지 않으므로 질량 보존 법칙은 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$frac{partial rho}{partial t} + frac{1}{V} frac{partial}{partial t} (V rho) = 0$$
여기서 $V$는 탱크의 체적이다. 이제 연속 방정식을 이용하여 $frac{partial rho}{partial t}$를 구할 수 있다.
$$frac{partial rho}{partial t} = -rho nabla cdot mathbf{v} = frac{rho}{V} frac{partial}{partial t} (V A)$$
여기서 $A$는 밸브의 단면적이다. 따라서,
$$frac{partial rho}{partial t} = -frac{rho A}{V} frac{partial V}{partial t}$$
이제 주어진 값들을 대입하여 계산하면,
$$frac{partial rho}{partial t} = -frac{(6 text{ kg/m}^3)(75 times 10^{-6} text{ m}^2)}{0.1 text{ m}^3} (310 text{ m/s}) = -1.395 text{ kg/(m}^3 cdot text{s})$$
따라서, 정답은 "-1.395"이다.
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