2013년06월02일 75번

[회로이론]
라플라스 함수 F(s)=A/α+s 이라 하면 이의 라플라스 역변환은?

① αeAt
② Aeαt
③ αe-At
④ Ae-αt

(정답률: 48%)

문제 해설

라플라스 역변환은 다음과 같이 정의됩니다.

L^-1{F(s)} = f(t) = lim_T→∞ 1/2πj ∫_γ-iT^γ+iT F(s) e^st ds

여기서 F(s) = A/α+s 이므로,

f(t) = lim_T→∞ 1/2πj ∫_γ-iT^γ+iT A/(α+s) e^st ds

이 식을 적분하면,

f(t) = lim_T→∞ 1/2πj [A ln(α+s) e^st] _γ-iT^γ+iT

= lim_T→∞ [A/2π (ln(α+γ+iT) - ln(α+γ-iT)) e^sγ]

= A/2π lim_T→∞ [ln((α+γ+iT)/(α+γ-iT)) e^sγ]

여기서 T→∞ 이므로, ln((α+γ+iT)/(α+γ-iT))는 γ에 대해 수렴합니다. 따라서,

f(t) = A/2π ln((α+γ+iT)/(α+γ-iT)) e^sγ

= A/2π ln((α+γ+iT)/(α+γ-iT)) e^γt

여기서 γ = -α 이므로,

f(t) = A/2π ln((α-α+iT)/(α-α-iT)) e^-αt

= A/2π ln(1) e^-αt

= A/2π e^-αt

따라서, 라플라스 함수 F(s)=A/α+s의 라플라스 역변환은 Ae^-αt입니다.

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