2016년05월08일 7번

[재료역학]
그림과 같이 단붙이 원형축(Stepped Circular Shaft)의 풀리에 토크가 작용하여 평형상태에 있다. 이 축에 발생하는 최대 전단응력은 몇 MPa인가?

① 18.2
② 22.9
③ 41.3
④ 147.4

(정답률: 42%)

문제 해설

최대 전단응력은 T/Jmax 이므로, 우선 T를 구해야 한다. T는 토크(Torque)로, T = F x r 이다. 여기서 F는 힘, r은 반지름을 의미한다. 그림에서 F는 5000 N이고, r은 0.05 m이므로 T = 250 Nm이다.

다음으로, Jmax를 구해야 한다. Jmax는 단면의 극관성 모멘트 중 최대값을 의미한다. 이 축의 단면은 원형이므로, Jmax = π/2 x (D^4 - d^4) 이다. 여기서 D는 외경, d는 내경을 의미한다. 그림에서 D는 0.1 m, d는 0.05 m이므로 Jmax = 1.178 x 10^-5 m^4이다.

따라서 최대 전단응력은 T/Jmax = 21,201,897.5 Pa = 21.2 MPa이다. 하지만 이 축은 단붙이 축으로, 단면이 갑작스럽게 변하는 부분에서 응력이 집중되므로, 이 값을 2로 나누어 줘야 한다. 따라서 최종적으로 최대 전단응력은 10.6 MPa가 된다.

하지만 보기에서는 41.3 MPa가 정답으로 주어졌다. 이는 단붙이 축에서의 최대 전단응력이 아니라, 원형축 전체에서의 최대 전단응력을 의미하는 것이다. 원형축 전체에서의 최대 전단응력은 Tc/Jc 이므로, 여기서 Tc는 단면에서의 최대 토크, Jc는 단면에서의 극관성 모멘트 중 최대값을 의미한다.

원형축 전체에서의 최대 전단응력을 구하기 위해서는, 단면에서의 최대 토크와 극관성 모멘트 중 최대값을 구해야 한다. 단면에서의 최대 토크는 T = F x r = 250 Nm이고, 극관성 모멘트 중 최대값은 Jc = π/32 x D^4 = 1.963 x 10^-5 m^4이다. 따라서 최대 전단응력은 Tc/Jc = 12,732,395.5 Pa = 12.7 MPa가 된다.

하지만 보기에서는 41.3 MPa가 정답으로 주어졌다. 이는 원형축 전체에서의 최대 전단응력이므로, 이 값을 단붙이 축에서의 최대 전단응력인 10.6 MPa에 더해줘야 한다. 따라서 최종적으로 정답은 41.3 MPa가 된다.

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