2012년08월26일 66번

[회로이론 및 제어공학]
특성방정식 s³+34.5s²+7500s+7500k=0로 표시되는 계통이 안정되려면 k의 범위는?

① 0 < k < 34.5
② k < 0
③ k > 34.5
④ 0 < k < 69

(정답률: 71%)

문제 해설

안정되는 계통이란 모든 근이 실수이고, 모든 근의 실수부가 음수인 경우를 말한다. 따라서 이 문제에서는 특성방정식의 근을 구하고, 이 근들이 모두 실수이면서 실수부가 음수인지를 확인해야 한다.

먼저, 특성방정식의 근을 구하기 위해 s의 값을 0으로 놓고 k에 대해 풀어보면 다음과 같다.

s³+34.5s²+7500s+7500k=0 (s=0일 때)

7500k=0

k=0

따라서 k=0일 때는 특성방정식이 s³+34.5s²+7500s=0으로 단순화된다.

이제, 특성방정식의 근을 구하기 위해 s의 값을 0이 아닌 다른 값으로 놓고 k에 대해 풀어보면 다음과 같다.

s³+34.5s²+7500s+7500k=0 (s≠0일 때)

s³+34.5s²+7500s=-7500k

s(s²+34.5s+7500)=-7500k

s²+34.5s+7500=-7500k/s

위 식에서 s²+34.5s+7500은 이차방정식의 형태를 가지므로 근의 공식을 이용하여 근을 구할 수 있다.

s = (-34.5 ± √(34.5²-4×7500))/2

s = (-34.5 ± √(0.25))/2 또는 s = (-34.5 ± √(34.5²-4×7500))/2

s = -17.25 또는 s = -17.25 ± 86.6i 또는 s = -51, 0.15

위 식에서 복소수 근은 안정되는 계통의 조건을 만족하지 않으므로 제외한다. 따라서 안정되는 계통의 조건은 다음과 같다.

s = -17.25 또는 s = -51, 0.15

이제, 이 근들이 모두 실수이면서 실수부가 음수인지를 확인해야 한다. s = -17.25일 때는 실수부가 음수이므로 안정되는 계통이다. s = -51일 때는 실수부가 양수이므로 안정되지 않은 계통이다. s = 0.15일 때도 실수부가 양수이므로 안정되지 않은 계통이다.

따라서 k의 범위는 0 < k < 34.5이다. k가 0보다 작거나 34.5보다 크면 안정되지 않은 계통이 되고, k가 0에서 34.5 사이면 안정되는 계통이 된다.

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