2016년07월10일 14번

[임의구분]
자기인덕턴스가 L₁, L₂ 상호인덕턴스가 M인 두 회로의 결합계수가 1인 경우 L₁, L₂, M의 관계는?

① L1・L2=M
② L1・L2=M3
③ L1・L2>M2
④ L1・L2=M2

(정답률: 83%)

문제 해설

결합계수가 1이라는 것은 자기인덕턴스와 상호인덕턴스가 서로 독립적이라는 것을 의미합니다. 따라서 두 회로의 총 에너지는 각각의 회로의 에너지의 합과 상호작용 에너지의 합으로 나눌 수 있습니다.

총 에너지 = (L₁I₁²)/2 + (L₂I₂²)/2 + MI₁I₂

여기서 결합계수가 1이므로 M = k√(L₁L₂) (k는 상수)로 나타낼 수 있습니다. 이를 위의 식에 대입하면,

총 에너지 = (L₁I₁²)/2 + (L₂I₂²)/2 + k√(L₁L₂)I₁I₂

이제 이 식을 I₁ 또는 I₂에 대해 미분하면 상호인덕턴스 M을 구할 수 있습니다. 미분 결과,

d(총 에너지)/dI₁ = L₁I₁ + k√(L₁L₂)I₂ = MI₂
d(총 에너지)/dI₂ = L₂I₂ + k√(L₁L₂)I₁ = MI₁

위의 두 식을 풀어 정리하면,

I₁ = (M/k√(L₁L₂))I₂
I₂ = (M/k√(L₁L₂))I₁

이를 다시 총 에너지 식에 대입하면,

총 에너지 = (L₁I₁²)/2 + (L₂I₂²)/2 + M²/2k

여기서 L₁과 L₂는 각각의 회로의 자기인덕턴스이므로 상수입니다. 따라서 M²/2k도 상수이며, 이를 C로 나타내면,

총 에너지 = (L₁I₁²)/2 + (L₂I₂²)/2 + C

이 식에서 C는 상수이므로 L₁・L₂=M²가 됩니다.

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2016년07월10일 14번

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