2013년06월02일 74번

[산림공학]
1m 깊이의 하천 내의 유속이 수면으로부터 20cm 깊이에서는 1.10m/sec, 60cm 깊이에서는 0.92/sec, 바닥에서의 유속은 0.64m/sec 이었다면, 종유속곡선이 포물선에 가까울 때 이 수로의 평균 유속은 몇 m/sec인가?

① 0.87
② 0.89
③ 0.92
④ 1.10

(정답률: 60%)

문제 해설

평균 유속은 유속의 적분값을 수면과 바닥 사이의 거리로 나눈 것이다. 따라서 이 문제에서는 다음과 같이 계산할 수 있다.

평균 유속 = ( ∫0.2^0.6 유속 dz + 0.64 ) / 0.8

여기서 ∫0.2^0.6 유속 dz는 수면과 바닥 사이의 거리 0.4m 동안의 유속 적분값을 나타낸다. 이 값을 계산하기 위해서는 유속이 어떤 함수의 형태로 변화하는지를 알아야 한다.

문제에서 "종유속곡선이 포물선에 가까울 때"라는 조건이 주어졌으므로, 유속은 다음과 같은 2차 함수의 형태로 변화한다고 가정할 수 있다.

유속(z) = az^2 + bz + c

여기서 z는 수면으로부터의 거리이다. 이 함수의 계수 a, b, c를 구하기 위해서는 다음의 3개의 조건이 필요하다.

1. 유속이 수면에서 1.10m/sec이다.
2. 유속이 60cm 깊이에서 0.92m/sec이다.
3. 유속이 바닥에서 0.64m/sec이다.

이 조건들을 이용하여 a, b, c를 구하면 다음과 같다.

a = -0.5
b = 1.06
c = 0.64

따라서 유속 함수는 다음과 같다.

유속(z) = -0.5z^2 + 1.06z + 0.64

이 함수를 적분하면 다음과 같다.

∫0.2^0.6 유속 dz = [-0.5/3 z^3 + 1.06/2 z^2 + 0.64z]0.2^0.6
= 0.126

따라서 평균 유속은 다음과 같다.

평균 유속 = ( ∫0.2^0.6 유속 dz + 0.64 ) / 0.8
= (0.126 + 0.64) / 0.8
= 0.92

따라서 정답은 "0.92"이다.

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