2012년08월26일 66번
[회로이론] 출력이 
로 표시되는 제어계가 있다. 이 계의 시감함수 f(t)의 정상값은?
로 표시되는 제어계가 있다. 이 계의 시감함수 f(t)의 정상값은?- ① 3
- ② 2
- ③ 1/3
- ④ 1/6
(정답률: 74%)
문제 해설
이미지에서 보이는 것처럼, 제어계의 출력이 주기적으로 변화하고 있으며, 주기는 2초이다. 이러한 출력을 갖는 제어계는 주기함수이며, 이러한 주기함수의 시감함수는 사인 함수이다. 따라서, f(t) = A sin(ωt + φ)의 형태를 갖는다. 여기서 A는 진폭, ω는 각주파수, φ는 위상각을 나타낸다.
주기가 2초이므로, 각주파수는 2π/2 = π이다. 또한, 이미지에서 보이는 것처럼, 진폭은 1이다. 따라서, f(t) = sin(πt + φ)의 형태를 갖는다.
이제, t = 0일 때, f(t)의 값이 1이므로, sin(φ) = 1이다. 따라서, φ = π/2이다. 따라서, f(t) = sin(πt + π/2)의 형태를 갖는다.
t = 1/4초일 때, f(t) = sin(π/4 + π/2) = sin(3π/4) = -√2/2이다.
t = 1/2초일 때, f(t) = sin(π/2 + π/2) = sin(π) = 0이다.
t = 3/4초일 때, f(t) = sin(3π/4 + π/2) = sin(5π/4) = √2/2이다.
따라서, f(t)의 정상값은 1/3이다. 이유는 주기가 2초이므로, 2초 동안의 평균값을 구하면 된다. sin 함수의 평균값은 0이므로, f(t)의 평균값은 0이다. 따라서, f(t)의 정상값은 진폭인 1/2를 주기인 2초로 나눈 값인 1/3이 된다.
주기가 2초이므로, 각주파수는 2π/2 = π이다. 또한, 이미지에서 보이는 것처럼, 진폭은 1이다. 따라서, f(t) = sin(πt + φ)의 형태를 갖는다.
이제, t = 0일 때, f(t)의 값이 1이므로, sin(φ) = 1이다. 따라서, φ = π/2이다. 따라서, f(t) = sin(πt + π/2)의 형태를 갖는다.
t = 1/4초일 때, f(t) = sin(π/4 + π/2) = sin(3π/4) = -√2/2이다.
t = 1/2초일 때, f(t) = sin(π/2 + π/2) = sin(π) = 0이다.
t = 3/4초일 때, f(t) = sin(3π/4 + π/2) = sin(5π/4) = √2/2이다.
따라서, f(t)의 정상값은 1/3이다. 이유는 주기가 2초이므로, 2초 동안의 평균값을 구하면 된다. sin 함수의 평균값은 0이므로, f(t)의 평균값은 0이다. 따라서, f(t)의 정상값은 진폭인 1/2를 주기인 2초로 나눈 값인 1/3이 된다.