2005년08월07일 70번

[회로이론 및 제어공학]
다음 파형의 라플라스 변환은?

(정답률: 55%)

문제 해설

주어진 파형은 지수함수와 삼각함수의 합으로 이루어져 있으므로, 라플라스 변환을 적용하기 위해서는 각각의 항에 대해 라플라스 변환을 적용해야 한다.

먼저 지수함수 $e^{-2t}$에 대한 라플라스 변환을 구해보자. 라플라스 변환의 정의에 따라,

$$mathcal{L}{e^{-2t}} = int_0^infty e^{-st} e^{-2t} dt = int_0^infty e^{-(s+2)t} dt$$

여기서 $s+2>0$이어야 적분이 수렴하므로, $s>-2$이다. 따라서,

$$mathcal{L}{e^{-2t}} = left[ -frac{1}{s+2} e^{-(s+2)t} right]_0^infty = frac{1}{s+2}$$

다음으로 삼각함수 $sin 3t$에 대한 라플라스 변환을 구해보자. 라플라스 변환의 정의에 따라,

$$mathcal{L}{sin 3t} = int_0^infty e^{-st} sin 3t dt$$

이 식을 적분하기 위해서는 적분범위를 $-infty$부터 $infty$까지로 확장하고, 적분식에 $theta$ 함수를 추가하여 다음과 같이 변형할 수 있다.

$$mathcal{L}{sin 3t} = frac{1}{2i} int_{-infty}^infty e^{-st} (e^{i3t} - e^{-i3t}) d t = frac{1}{2i} left( frac{1}{s-i3} - frac{1}{s+i3} right)$$

따라서, 주어진 파형의 라플라스 변환은

$$mathcal{L}{f(t)} = mathcal{L}{e^{-2t}} + mathcal{L}{sin 3t} = frac{1}{s+2} + frac{1}{2i} left( frac{1}{s-i3} - frac{1}{s+i3} right)$$

이다. 이 중에서 정답은 "

"이다. 이유는, 라플라스 변환의 선형성에 의해 $mathcal{L}{f(t)} = mathcal{L}{e^{-2t}} + mathcal{L}{sin 3t}$이므로, 주어진 보기 중에서 "

"이 완전히 일치하는 유일한 보기이기 때문이다.

이전 문제 다음 문제