2005년05월29일 14번

[전기자기학]
진공의 전하분포 공간내에서 전위가 V = x² + y² [V]로 표시될 때, 전하밀도는 몇 C/m³ 인가?

① -4εo
②
③ - 2εo
④

(정답률: 55%)

문제 해설

전위의 그래디언트는 전기장이므로, 전기장은 E = -∇V로 주어진다. 따라서,

E_x = -∂V/∂x = -2x
E_y = -∂V/∂y = -2y

전하밀도는 전기장의 발산으로 주어지므로,

ρ = -∇·E = -∂E_x/∂x - ∂E_y/∂y = 2 - 2 = 0

따라서, 전하밀도는 0 C/m³ 이다.

그러나 보기에서는 "-4ε_o"가 정답으로 주어졌다. 이는 가우스 법칙을 이용하여 구한 결과이다.

가우스 법칙은 ∮E·dA = Q_enc/ε_o로 주어지는데, 여기서 Q_enc는 전하의 총량이고, ε_o는 자유공간의 유전율이다.

전하가 없는 경우, 가우스 법칙은 ∮E·dA = 0이 된다. 따라서,

∮E·dA = ∫E_xdy - ∫E_ydx = ∫(2x)dy - ∫(-2y)dx = 2∫xdy + 2∫ydx

이제, 전하가 있는 경우를 생각해보자. 전하가 있는 경우, 전하가 있는 영역 내에서만 가우스 법칙이 성립한다. 따라서, 전하가 있는 영역 내에서 가우스 표면을 선택해야 한다.

이 문제에서는 전하가 없는 진공 상태에서 전위가 주어졌으므로, 전하가 있는 영역 내에서 가우스 표면을 선택할 필요가 없다. 따라서, 전하밀도는 0 C/m³ 이다.

따라서, "-4ε_o"가 정답인 이유는 없다.

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