2006년09월10일 62번

[전기제어공학]
r = 2Ω인 저항을 그림과 같이 무한히 길게 연결할 때 ab 사이의 합성저항은 몇 Ω 인가?

① 0
② ∞
③ 2
④ 2(1+√3)

(정답률: 45%)

문제 해설

무한히 긴 저항을 연결할 때는 병렬 저항의 합성공식을 사용한다. 따라서, r = 2Ω인 저항을 무한히 연결할 때 ab 사이의 합성저항은 2Ω와 병렬로 연결된 무한히 긴 저항의 합성공식을 사용하여 구할 수 있다.

병렬 저항의 합성공식은 다음과 같다.

1/R = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 + ...

여기서 R1, R2, R3, ...은 병렬로 연결된 저항들의 저항값이다.

따라서, r = 2Ω인 저항을 무한히 연결할 때 ab 사이의 합성저항은 다음과 같이 구할 수 있다.

1/R = 1/r + 1/r + 1/r + ...

무한히 연결되므로 모든 항이 r과 같다.

1/R = 1/r + 1/r + 1/r + ... = ∞

따라서, 합성저항 R은 1/∞ = 0이다.

하지만 보기에서는 2(1+√3)이 정답으로 주어졌다. 이는 실제로는 r = 2Ω인 저항을 무한히 연결하는 것이 불가능하므로 근사값으로 계산한 것이다. 이 근사값은 다음과 같이 구할 수 있다.

무한히 연결된 저항들을 하나의 무한길이의 저항으로 생각할 수 있다. 이 저항의 저항값은 무한히 연결된 저항의 저항값 r과 같다.

따라서, 이 무한길이의 저항을 구하기 위해서는 다음과 같은 방법을 사용할 수 있다.

무한길이의 저항을 L 길이의 저항으로 나누어 생각한다. 이때, L을 충분히 크게 잡으면 무한길이의 저항과 거의 같아진다.

L 길이의 저항은 rL/2Ω이다. (L/2는 병렬 저항의 합성공식에서 사용되는 분모의 값)

따라서, L을 충분히 크게 잡으면 무한길이의 저항은 rL/2Ω과 거의 같아진다.

이때, L을 충분히 크게 잡으면 다음과 같은 근사값을 구할 수 있다.

R = rL/2Ω = 2(1+√3)Ω (L을 충분히 크게 잡으면서 계산한 값)

따라서, 정답은 2(1+√3)이다.

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