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2006년05월14일 5번

[전기자기학]
길이 ℓ[m]인 동축 원통도체의 내외원통에 각각 +λ, -λ[C/m]의 전하가 분포되어 있다. 내외 원통 사이에 유전률 ε인 유전체가 채워져 있을 때, 전계의 세기는 몇 [V/m]인가? (단, V는 내외 원통간의 전위차, D는 전속밀도이고, a,b는 내외 원통의 반지름이며 원통 중심에서의 거리 r은 a＜γ＜b 인 경우이다.)

  • ①
  • ②
  • ③
  • ④
(정답률: 47%)

문제 해설

전계의 세기는 전기장의 크기를 의미하므로, 전기장을 구해야 한다. 전기장은 전하에 의해 생성되므로, 가우스 법칙을 이용하여 전하 밀도를 구하고, 전하 밀도로부터 전기장을 구할 수 있다.

내외 원통 사이에 유전체가 채워져 있으므로, 가우스 법칙을 적용할 때 유전율을 고려해야 한다. 가우스 법칙에 따르면, 전하 밀도는 전기장의 발산량과 일치한다. 따라서, 내외 원통 사이의 전하 밀도는 다음과 같이 구할 수 있다.

ρ = ε(dE/dr)

여기서, dE/dr은 전기장의 변화율을 의미한다. 내외 원통 사이의 전기장은 반지름에 따라 변화하므로, dE/dr은 다음과 같이 구할 수 있다.

dE/dr = λ/(2πεr)

따라서, 전하 밀도는 다음과 같이 구할 수 있다.

ρ = λ/(2πr)

내외 원통 사이의 전기장은 가우스 법칙에 따라 다음과 같이 구할 수 있다.

E = ∫ρdS/ε

여기서, ∫dS는 가우스 표면을 의미한다. 내외 원통 사이의 가우스 표면은 원통의 옆면과 원통의 끝면으로 구성된다. 옆면에 수직한 전기장 성분은 없으므로, 가우스 표면 적분은 끝면에서만 이루어진다. 끝면에서의 전기장은 다음과 같이 구할 수 있다.

E = λ/(2πε) * ∫(1/r)dr = λ/(2πε) * ln(b/a)

따라서, 전계의 세기는 전기장의 크기와 같으므로, 다음과 같이 구할 수 있다.

D = εE = λ/(2π) * ln(b/a)

따라서, 정답은 "" 이다.
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